第一章

概念题

1.高频率低容量用什么器件

mos管频率高容量小，scr晶闸管低频大容量

2.电力电子器件根据开关方式分类，怎么控制开关

不可控器件、半控器件、全控器件
不可控：功率二极管是不可控器件。加正向阳极电压时，功率二极管导通；反之，功率二极管关断。

半控：普通晶闸管SCR属于半控器件。只有在正向阳极电压、正向门极电压时，SCR导通；导通后，SCR的门极失去控制作用，即门极只能控制其导通而不能控制其关断；要使已导通的SCR关断，需加反向阳极电压，或使其阳极电流减至维持电流IH以下。

全控：大功率晶体管GTR、门极可关断晶闸管GTO、功率场效应管P-MOSFET、绝缘栅双极型晶体管IGBT、MOS控制晶体管MCT、静电感应晶体管SIT、静电感应晶闸管SITH、集成门极换流晶闸管IGCT等功率半导体器件（我觉得这坨不用记）为全控型器件，即通过控制极上的驱动信号既能控制其开通又能控制其关断

3. 用于小功率、高频率的功率开关器件

场效应晶体管P-MOSFET
绝缘栅双极型晶体管IGBT

4. 哪个器件最适合智能手机充电的功率放大

场效应晶体管P-MOSFET

5. 晶闸管持续导通的条件

晶闸管的阳极—阴极之间加正向电压。
门极施加正向电压，使足够的门极电流Ig流入。

6. 晶闸管阻断时间，关断时，阳极电流阳极电压的波形

晶闸管是半控型器件，不能通过撤销门极信号来关断。必须依靠外部电路条件迫使阳极电流降至维持电流以下，图中标注的加反压时刻正是外部电路改变、电流开始下降的起点。

反向阻断:电流 $i_a$ 过零后并没有立刻停止，而是继续反向增大,因为内部的两个外层PN结（$J_1$ 和 $J_3$）注入了大量的少数载流子。这些残存的电荷必须在反向电压的作用下被抽出。当反向电流衰减至接近零时，外层PN结恢复了反向阻断能力
正向阻断：即使外层结恢复了阻断反压的能力，中间的PN结（$J_2$）区域内依然残留有复合较慢的载流子。如果在此时立刻重新施加正向电压，这些残余载流子会导致晶闸管不加门极信号就发生误导通。因此，必须继续保持一段时间的反向偏置，让中间结的载流子完全自然复合，从而彻底恢复正向阻断能力。

7. 晶闸管过电流保护措施

A：交流进线电抗器————限制短路电流的上升率（$di/dt$）
C、D、E：快速熔断器—————普通熔断器动作太慢，而“快熔”能在短路电流达到破坏性峰值之前（通常在微秒到毫秒级）迅速熔断，切断故障
- C：保护变流器内部桥臂的短路
- D:与晶闸管串联配置，最直接、最安全的保护方式，只要流过该器件的电流超标立刻熔断。
- E:主要用于防范直流负载侧发生的短路故障。
B、F：电流检测与过流继电器————主要用于过载保护
G：直流快速开关————当直流侧负载发生严重故障（如逆变失败、直流母线短路）时，G 能够迅速断开。它不仅能防止变流器继续向故障点提供能量，还能防止某些有源负载（如电动机）的能量反灌回变流装置造成二次损坏。

8. 擎住电流

晶闸管从阻断状态转变为导通状态并撤除门极触发信号时，能维持导通所需的最小电流。
IL＝（2～4）IH

9. 二次击穿

10.IGBT中的擎住效应:

当通态集电极电流大于某临界值（静态擎住），或关断过程中电压变化速率过快（动态擎住）会导致寄生晶闸管导通，栅极对器件失控。

第二章

单结晶体管同步振荡电路

整个电路可以分为四个主要部分：

同步与电源整流（对应 TP1, TP2, TP3）
- VD1 起半波整流作用，只允许交流电（AC60V）的正半周通过。
- V1、V2（稳压管）和 R1 组成削波电路，将正弦波削平，形成梯形波（TP2），为单结晶体管 V6 提供工作电源。
- R2、V3（稳压管）进一步稳压，生成另一个梯形波（TP3），为后面的恒流源电路提供稳定的参考电压。这种设计保证了即使电网电压有波动，触发脉冲的相位也能保持稳定。
恒流源充电电路（对应 TP4）
- 由晶体管 V4 (NPN)、V5 (PNP) 及外围电阻组成。与基础的 RC 充电电路不同，这里使用恒流源向电容 $C_1$ 充电。
- 调节电位器 RP1 可以改变 V4 的基极电位，进而改变恒流源的输出电流大小。电流大小直接决定了电容 $C_1$ 电压上升的斜率（即改变了触发角 $\alpha$ 的大小）
单结晶体管弛张振荡器（对应 TP4, TP5）
- 由单结晶体管 V6、电容 $C_1$ 和脉冲变压器原边组成。
- 当恒流源向 $C_1$ 充电，使其端电压（TP4）达到单结晶体管的峰点电压 $U_p$ 时，V6 导通。
- $C_1$ 上储存的电荷迅速通过 V6 的发射极（E）和基极1（B1）放电，在脉冲变压器的初级线圈上形成一个陡峭的电流尖峰（TP5）。放电结束后，V6 关断，$C_1$ 重新开始充电，周而复始。
脉冲隔离与输出（对应 G-K）
- 脉冲变压器起到电气隔离和阻抗匹配的作用.
- 次级线圈输出脉冲后，经过 VD3 防止反向击穿，由 G-K 端子输出至晶闸管的门极和阴极。VD4 是续流保护二极管，用于吸收负脉冲，保护晶闸管门极。

波形如下：

补充说明：

为什么说是恒流源充电电路：因为单结晶体管的恒流充电和触发过程，被刻意设计在梯形波的“平顶区”内完成，此时TP3 处的电压就是一个非常稳定的直流电压，有
$$V_{b4} = V_{TP3} \times \frac{R_{下半部分}}{R3 + RP1 + R4}$$
因此$V_{b4}$ 在这期间必然是一个恒定值，根据晶体管特性，发射极电压 $U_{E4} = U_{B4} - U_{BE}$（约 0.7V）。既然 $U_{B4}$ 恒定，$U_{E4}$ 也就恒定。因此，流过发射极电阻 R6 的电流 $I_{E4} = \frac{U_{E4}}{R6}$。这是一个恒定不变的电流。

例题

2-2习题

实现同步的核心在于：利用交流电源的“过零点”来强制复位振荡器。

工作机制：同步振荡电路的直流电源并不是普通的稳压直流电，而是由交流电网电压经过整流和稳压管削波后形成的梯形波（脉动直流）。
如何同步（复位）：当交流电网电压在正负半周交替处（即过零点附近）时，梯形波电压也会随之降为零。此时，单结晶体管失去了工作电源，电容上的电荷会通过内部电路彻底放电清零。
结论：这意味着每一次交流电正半周开始时，电容都必定从零电压开始重新充电。这种“过零强制复位”机制，消除了上一个周期的残余电荷影响，确保了每一个交流周期内，第一个触发脉冲的产生时刻（即相位角 $\alpha$）是完全一致且锁定在电网相位上的，从而实现了“同步”。

电路中的 $R_e$ 选得过大或过小会有什么影响？为什么？
在基础的单结晶体管 RC 振荡电路中，$R_e$ 是连接在电源和发射极（E）之间的充电电阻（它的作用就相当于我们刚才讨论的电路中那个恒流源）

如果 $R_e$ 选得过大：电路无法起振（不能导通）
电容电压上升到峰点电压后，单结晶体管无法导通放电，不产生脉冲。因为单结晶体管要从截止区进入负阻区（即导通放电），发射极电流必须大于其峰点电流 $I_p$。如果 $R_e$ 阻值过大，能够提供的最大充电电流就会很小。当这个电流小于 $I_p$ 时，单结晶体管就永远无法被触发导通，电容电压会一直停留在峰点电压附近。
如果 $R_e$ 选得过小：电路导通后无法关断（停振）
电容第一次充电放电（单结晶体管导通）后，单结晶体管就一直保持导通状态，不再关断，也就无法进行下一次充电，输出端只输出一个脉冲或变为常态直流。因为单结晶体管导通放电后，要恢复到截止状态（关断）以准备下一次充电，流过发射极的电流必须小于其谷点电流 $I_v$。如果 $R_e$ 阻值过小，在电容放电完毕后，电源通过 $R_e$ 直接注入发射极的电流仍然很大。如果这个维持电流大于 $I_v$，单结晶体管就会一直处于饱和导通状态，无法关断。

证明单结晶体管脉冲移相电路的触发脉冲周期为 $T = R_{\mathrm{e}} C \ln \frac{1}{1 - \eta}$，式中分压比 $\eta = \frac{R_{b1}}{R_{bb}}$。

锯齿波同步移相触发器

1. 同步检测：

负半周下降段：当同步电压 $u_{TB}$ 过零变负时，变压器副边 R 点电位变为负值。因为 R 点是负电位，而地（0V）是相对正电位，二极管 $VD_1$ 承受正向偏压而导通。电容 $C_1$ 被迅速充电（极性为上负下正）。此时 Q 点电位 $u_Q$ 被拉低，基本等于 R 点的负电位。因为 Q 点是负电位，二极管 $VD_2$ 截止，晶体管 $VT_2$ 的发射结被反向偏置，因此 $VT_2$ 处于深度截止状态。一旦 $VT_2$ 截止，后级的恒流源（由 $VT_1$ 等构成）就开始给电容 $C_2$ 充电，锯齿波开始线性上升（形成锯齿波）。
负半周上升段及正半周：$u_{TB}$ 过了负向峰值后开始上升。由于电源 +15V 持续通过电阻 $R_1$ 给电容 $C_1$ 充电，试图拉高 Q 点电位。但这部分充电速度（由 $R_1$ 和 $C_1$ 的时间常数决定）被设计得慢于 R 点同步电压 $u_{TB}$ 上升的速度。因为 R 点电压上升得比 Q 点快，导致二极管 ${VD}_1$ 承受反向电压而截止。此时，C1 只能依靠 +15V 经 $R_1$ 缓慢反向充电，$u_Q$ 的波形呈现出一个平缓上升的斜坡
电位钳位与锯齿波复位（$u_Q$ 达到 +1.4V）随着 +15V 经 $R_1$ 继续给 $C_1$ 充电，Q 点电位 $u_Q$ 不断升高。当 $u_Q$ 升高到约 1.4V 时，这个电压刚好克服了二极管 $VD_2$ 的正向压降（约 0.7V）和晶体管 $VT_2$ 的基射极导通压降（$V_{BE}$ 约 0.7V）。$VD_2$ 和 $VT_2$ 同时导通。一旦导通,Q点电位就被牢牢钳在1.4V（如波形图所示的平顶部分）$VT_2$ 饱和导通后，相当于把后级锯齿波电容 $C_2$ 短路接地。$C_2$ 上的电荷迅速通过 $VT_2$ 放电，锯齿波瞬间掉到零（或接近零的饱和压降），锯齿波的一个周期宣告结束。$VT_2$ 会一直保持导通，直到下一个交流电周期的负半周到来，再次将 Q 点拉为负电位。

关键：利用交流同步电压的负半周强行拉低电位关断 $VT_2$ 来启动锯齿波，然后利用阻容（$R_1$、$C_1$）的充电延时特性，让 $VT_2$ 在大约 $240^{\circ}$ 的电角度后才重新导通来结束锯齿波。

2. 锯齿波形成

由VW、RP1、R3、VT1、VT2、VT3、C2等组成。其中VW、RP1、R3、VT1近似为恒流源

当VT2截止时：恒流IC1对C2充电，uC线性增长
$$
u_C=\frac{1}{C_2}\int i,\mathrm{d}t=\frac{1}{C_2}\int I_{C1},\mathrm{d}t=\frac{1}{C_2}I_{C1}t
$$
$u_C$ = $u_b3$ 为锯齿波上升段，调$RP_1$ → $I_{C1}$ 变化 → 锯齿波斜率变化. $VT_3$ 的$u_{e3}$ 与$u_b3$差一PN结电压
VT2饱和导通
当 $R_4$ 较小时，$C_2$ 通过 $R_4$ 和 $VT_2$ 很快放电，形成锯齿波的下降段。

3. 移相控制

本质上就是一个电压比较器。它通过将三个不同的电压信号叠加，并与晶体管的导通阈值进行比较，从而将连续变化的直流控制电压（$u_K$）转换成特定的时间延迟（即移相角 $\alpha$）

$u_p$ 的作用（定标/零点校准）:
在系统投入运行前，我们通常先令控制电压 $u_K = 0$。此时，通过调节 $u_p$ 的大小（实质上是把整个锯齿波形上下平移），我们可以人为设定一个初始的触发时刻。 一旦调好，$u_p$ 就固定不动了。
$u_K$ 的作用（动态调节移相角）：如果 $u_K$ 增加（往正向变大）,相当于把 $u_{b4}$ 的波形整体往上抬,移相角 $\alpha$ 减小. 如果 $u_K$ 减小（往负向变大）,相当于把 $u_{b4}$ 的波形整体往下拉,移相角 $\alpha$ 增大。

4. 脉冲的形成与放大

这部分电路最核心就在于电容 $\text{C}_3$ 的充放电过程

$u_{b4}<0V$时，$VT_4$截止：
$+15V$通过$R_{11}$向$VT_5$提供足够大的基极电流，$VT_5$饱和导通($VT_6$也饱和导通)故$u_{c5}$为$-15V$，$VT_7$、$VT_8$截止，无输出，$C_3$经$R_9$、$VT_5$、$VT_6$充电至$30V$，左$(+)$右$(-)$
$u_{b4}=0.7V$时，$VT_4$导通：
“A”点电位为1V，电容电压$u_{c3}$不突变，$u_{b5}$由-15V降至-30V，$VT_5$截止，$u_{c5}$由-15V升至2.1V($VD_6$、$VT_7$、$VT_8$压降)，$VT_7$、$VT_8$导通，输出脉冲$VT_4$导通时，$C_3$经+15V、$R_{11}$、$VD_4$、$VT_4$反向充电，使：$U_{b5}(-30V\to 大于 -15V)\to VT_5$重新导通$\to u_{c5}(2.1V\to -15V)\to VT_7$、$VT_8$截止，无脉冲
补充：
- $VT_4$导通时刻为脉冲发出时刻
- $VT_5$持续截止时间为脉冲宽度(与$C_3$反向充电时间常数$R_{11}$、$C_3$有关)

5. 强触发环节

利用了两个不同电压的电源（+50V 和 +15V）和一个隔离二极管 $VD_{15}$ 来实现自动切换。

一开始输出管 $VT_8$ 截止。+50V 高压电源通过电阻 $R_{15}$ 给电容 $C_6$ 充满电。此时 B 点的电位高达 +50V。因为 B 点是 +50V，而右侧稳压电源是 +15V，所以中间的二极管 $D_{15}$ 承受反向偏压，处于截止状态，+15V 电源被挡在外面。

爆发瞬间（ $VT_8$ 刚导通）：当前级脉冲到来，让 $VT_8$ 瞬间导通。好比突然打开了泄洪闸门，$C_6$ 里储存的 +50V 高压电荷瞬间狂泻到地。由于放电回路电阻很小，这就形成了一个极高、极陡的电流尖峰，这就是触发脉冲的“前沿”。

当 B 点电位降到略低于 +15V 时，二极管 $VD_{15}$ 瞬间正向导通。此时，+15V 电源顺势接管了战场，源源不断地提供一个较低但稳定的电流来维持脉冲，形成脉冲的“平顶”部分。

6. 双窄脉冲形成

$VT_5$ 和 $VT_6$ 的串联结构：只要 $VT_5$ 和 $VT_6$ 中有任何一个截止（断开路），$R_{12}$ 上的电流无路可走，就会灌入 $VT_7$ 的基极，使得 $VT_7$、$VT_8$ 导通，输出触发脉冲。

实现的效果：每个晶闸管在一个周期内，不仅要在自己的相位处被触发一次，还要在相隔 $60^{\circ}$ 后再被触发一次（配合下一个管子换流）。

概念题

为什么电源电压的波动和波形畸变对锯齿波同步移相触发电路影响较小？
由于锯齿波同步移相触发电路是锯齿波来控制触发电路。而锯齿波电压$U_c$是由恒流源提供电流充电的，与时间作线形增长。电源电压$U_2$的正负半周变化经同步检测环节来控制电容C的充放电。即控制锯齿波产生的时刻及宽度。而电源电压的波动及波形畸变对锯齿波产生时刻及宽度影响很小，只是电源电压过零点才对锯齿波的产生时刻等有较大影响。

经典计算题

重要相位关系

	正弦波移相	锯齿波移相
NPN晶体管	滞后120°	反相
PNP晶体管	超前60°	同相

并且滞后是顺时针，超前是逆时针

例一

Q: 整流变压器 (主变压器)为 Y/Y-12 连接组，同步变压器为$\Delta$/Y-5 连接组，触发器采用NPN晶体管组成的正弦波同步触发电路，阻容滤波滞后30°(即$u_T^{\prime}$滞后$u_T$ 30°),求主电路阳极电压与触发器同步电压的对应关系。
分析：
1. 查表。NPN晶体管组成的正弦波同步触发电路，需要同步电压滞后主电压120°,这里因为有阻容滞后电路，因此对应着表示$u_{a}^{\prime}$要滞后$u_a$ 120°, $u_{Ta}$要滞后$u_a$ 90°。(这里的$u_{a}^{\prime}$指的是理论上对应阳极电压$u_a$的同步电压位置)
2. 接着来看矢量图,主变压器 Y/Y-12 表示$U_{AB}$ 与$U_{ab}$ 是同相位的，设为 12 点方向。线电压要超前相电压30°,因此$U_{a}$ 在 1 点钟方向。
3. 接下来看同步变压器的矢量图，由于是从同一个交流电压源 $u_1$ 上接过来的，因此$U_TAB$ 就是$U_AB$ ,也在 12 点钟方向。同步变压器为 Δ/Y-5 连接组，表示$U_{Tab}$在 5 点钟方向，因此$U_{Ta}$在 6 点钟方向。
4. 上面分析了，按理说$u_Ta$要滞后$u_a$ 90°,也就是说$U_Ta$应该在 4 点钟方向才行，但是现在不在。考虑一下同步信号的其他相5，按照 AZBXCY 的顺序，$U_{T(-b)}$刚好超前$U_{Ta}$ 60°,也就是说$U_T(-b)$刚好就在 4 点钟方向。有了阳极电压$U_a$对应的同步电压相，就可以把这个表补充完整如下：

例二

Q: (本题以 Δ/Y-1 为例) 整流变压器 (主变压器)为 Y/Y-12 连接组，同步变压器为 Δ/Y-1 连接组，触发器采用NPN晶体管组成的锯齿波同步触发电路、试选择 RC 滤波(滞后)环节、并求主电路阳极电压与触发器同步电压的对应关系。
分析：
1. 查表。 NPN晶体管组成的锯齿波同步触发电路，需要同步电压滞后主电压180°(反相),因此对应着表示$u_{a}^{\prime}$要滞后$u_a$ 180°。
2. 类似的，主变压器 Y/Y-12 表示$U_{AB}$与$U_{ab}$是同相位的，设为 12 点方向，因此$U_a$在 1 点钟方向。同步变压器为$\Delta$/Y-1 连接组，表示$U_{Tab}$在 1 点钟方向，因此$U_{Ta}$在 2 点钟方向。
3. 按理说需要$u_{Ta}$在$u_a$的反相，即 7 点钟方向，但是现在在 2 点钟方向。但是这里我们可以发现，因为每相间相差60°,即 2 小时，因此同步变压器的复变对应的每一相都不可能在 7 点钟。所以，我们这个时候要引入 RC 滤波 (滞后)电路。滞后 30°就够了。
4. 滞后 30°得到$U_{Ta}^{\prime}$在 3 点钟方向，按照 AZBXCY 的顺序，$U_{Tb}^{\prime}$刚好滞后$U_{Ta}^{\prime}$ 120°,即$U_{b}^{\prime}$刚好在7 点钟方向，这样就得到了对应关系表，把这个表补充完整如下。

概念题

晶闸管串并联问题，怎么解决。均压、均流

1.晶闸管串联

问题：元件电压等级不满足实际要求。正反向阻断特性不同时，通过相同漏电流，各元件受压大不相同。

解决：

静态均压：
- 选择特性较一致的元器件
- 并电阻，Rj<<阻断电阻
瞬态均压：
元件开通和关断过程中电压的分配取决于各管的结电容，触发特性，导通、关断时间。后开通元件，先关断元件，将承受高压.
措施：加RC阻容(R防止di/dt过大)
串联晶闸管额定电压选择：

2. 晶闸管并联

均流问题：由于并联各晶闸管在导通状态下的伏安特性不可能完全一致，相同管压降下各元件负担的电流不相同，可能相差很大。
想解决，除选择正向特性较一致的元器件，还需：

电阻均流：有功率损耗，仅适用小容量元件并联，不能动态均流。
电感均流: 损耗小，适合大容量元件并联，有动态均流作用；体积大，绕制困难。

晶闸管过电压、过电流保护措施

过电压：

用避雷器防止雷击过电压损坏元件
三相变压器星形中点通过电容接地，或次级绕组并联电容，以防止原边合闸而将高压耦合至副边，也可在原副边间加屏蔽层（无电容）。
RC抑制空载原边拉闸时的过电压
阻容保护与非线性电阻保护

过电流：

为什么用双窄脉冲，双窄脉冲实现方法

为什么：对三相桥式全控整流电路，要求提供宽度大于60°小于120°的宽脉冲，或间隔60°的窄脉冲。前者要求触发电路输出功率大，所以很少采用，一般都采用双窄脉冲

实现方式：1号触发器提供元件1的第一个脉冲。落后60°的2号触发器脉冲除供给元件2外，再对元件1提供第二个滞后第一个脉冲60°的补脉冲

触发脉冲要求

第四章：AC-DC 变换——整流

单相与三相整流

负载电压和负载电流

当带电阻性负载时，负载电压最低下降到 0，这是临界连续点，所以电阻性负载可能出现断续。
当带电感性负载时，负载电压可以继续下降到负值。而接上蓄流二极管的时候，又和电阻性负载类似的，电压不会过零！
负载电压后面的三角函数系数的决定因素是电压连续还是断续：
- 若电压连续，则 $U_d= U_{d0}\cos \alpha$
- 若电压断续，则 $U_d= U_{d0}\frac {1+ \cos }2$ (也不一定是1,可能是其他值,一般是1)
  断续里面这个 $\frac1+\cos{2}$ 不一定是 $\alpha$,主要看移相角的定义，比如在单相中是 $\alpha$,三相中就是 $\alpha+\frac\pi6$
负载电压前面的系数可以参考 3.5 节中的公式：$U_d=\frac{\sqrt{2}m}\pi\sin\frac\pi mU_s\cos\alpha$,当然这里的三角系数要用上面写的那样做，不一定是 $\cos\alpha$

单相桥式 $(n=2):0.9$
三相半波 $($n=3):1.17$
三相桥式 $($n=6,U_s=\sqrt{3}U_2):2.34$
唯一不太一样的就是单相半波，需要额外注意一下是单相桥式的一半

不论有没有电感，平均电流都是 $I_d=\frac{U_d}{R_d}$,阻性负载中电流与电压波形一致，阻感性负载中电流 I=const (除单相半波整流不接蓄流二极管这一特殊情况外)
带阻感-反电势负载时，平均电流修正为 $I_d=\frac{U_d-E}{R_d}$

其他物理量

晶闸管平均电流 $I_{dT}$ 主要看晶闸管的导通时间（由于一般都只考虑阻感性负载（甚至带蓄流二极管）下的 $I_T$，即确保 $I_d = \text{const}$），一般都有 $I_{dT} = \frac{\tau}{nT_s} I_d$，也就是说负载电流就是在不同时刻接入不同晶闸管上流过的电流而已。如：
(a) 单相半波：$I_{dT} = \frac{\pi - \alpha}{2\pi} I_d$
(b) 单相桥式：$I_{dT} = \frac{1}{2} I_d$（两个桥臂轮流，不管有没有电感都是这样）
(c) 三相半波/三相桥式：$I_{dT} = \frac{1}{3} I_d$
晶闸管电流有效值 $I_T$，由于一般都只考虑阻感性负载（甚至带蓄流二极管）下的 $I_T$，即确保 $I_d = \text{const}$，那么这个时候有效值的系数就是均值的系数开根号：$I_T = \sqrt{\frac{\tau}{nT_s}} I_d$（如果是电阻性负载就不能这么写）
变压器输出电流有效值 $I_2$：这个是线电压的有效值，也就是说我们一般考虑某一相（对三相整流而言），这个相对来讲比较复杂，好像也没有什么通用的公式
(a) 单相半波：变压器输出电流就是晶闸管电流
(b) 单相桥式：$I_2 = \sqrt{\frac{1}{\pi} \int_{\alpha}^{\pi} \frac{\sqrt{2} U_2}{R_d} \cdot \sin \omega t} = \frac{U_2}{R_d} \sqrt{\frac{1}{2\pi} \sin 2\alpha + \frac{\pi - \alpha}{\pi}}$
(c) 三相半波：变压器输出电流就是晶闸管电流，即 $I_2 = \sqrt{\frac{1}{3} I_d}$
(d) 三相桥式：由于三相桥式输出的是线电压，因此同一时间有两相导通，故 $I_2 = \sqrt{\frac{1}{2\pi} (\frac{2\pi}{3} R_d^2 + \frac{2\pi}{3} (-I_d)^2)} = \sqrt{\frac{2}{3}} I_d$